-17.933333-0.03333317.933333-0.0333330.9818990.983883-5.3666663.3833340.8986340.3681330.7747266.3666672.983333Here we show three frames (coordinate systems) moving relative to each other:
we observe from the black frame "A", while the blue frame "B" moves at the speed
of u relative to "A", and the green frame "C" moves at the speed of v relative to "B".
The magnitude of u and v can be controlled by the two points on the line segment,
with -c < u,v < c. We mark the unit length for frame "A" as "xA" and the unit duration
of time for frame "A" as "tA". Ditto for frames "B" and "C". Finally, the yellow line is
the world line of a light ray.
First let's simplify the picture a bit by making u=0 so that frame B overlaps frame A,
i.e., the blue frame becomes orthogonal and coincide with the black frame.
Now slide v back and forth to see how frame C changes. Notice that xC the unit point
moves along a hyperbola, as it should be according to the Lorentz Transform.
So does xT along another hyperbola. The large brown square mark P represents some
event. Its coordinates with respect to frame B is computed as PxB and PtB. This is found
by drawing two lines through B, one parallel to the xB axis, the other parallel to the tB axis.
From the intersections (the small brown dots) one can compute the ratio with the unit
lengths to obtain PxB and PtB. Ditto for frame C. Now you can add a few lines and points
to this figure in order to test your understanding of the Lorentz Transform:
1. Please explain the length contraction effect.
2. Please explain the time dilation effect.
3. Please explain the dependence of simultaneity upon the choice of the obvervation frame
You can move v along the segment to see how the amount of each effect varies with the
relative speed of C to B.
One thing that puzzles most people first learning the Lorentz transform is the question:
How can it be the case that things in frame B looks like shortened, slow motion in frame C's
eyes, while things in frame C also (by the principle of relativity) looks like shortened, slow
motion in frame B's eyes? So now we (frame A, the black frame) will catch up with frame C
and observe from their eyes in order to answer this question. This is achieved by moving
u away from 0 until frame C overlaps frame A, i.e., the green frame becomes orthogonal
and coincide with the black frame. In fact this happens when u=-v, i.e., when B (blue) moves
at speed -v relative A (black), and C (green) moves at speed v relative to B (blue).
See? The situation is exactly mirrored (and I mean it geometrically, too) from C's point of view.
The amount of length contraction and time dilation is exactly the same as what B observes of C,
except that the obvserved direction of motion is opposite.
This Dr. Geo figure also shows that the addition of velocities under the Lorentz Transform
can never exceed the speed of light, which is also (less visually) seen by the formula
(u+v)/(1+uv/c^2).
http://people.ofset.org/~ckhung/b/phy/lorentz.en.php
Nous voyons ici trois référentiels (systèmes de coordonnées) en mouvement relatif :
nous observons depuis le référentiel noir "A", tandis que le référentiel bleu "B" se
déplace à la vitesse u relativement à "A", et le référentiel vert "C" se déplace à la
vitesse v relativement à "B". Les valeurs de u et v peuvent être contrôlées par deux
points sur le segment, avec -c < u,v < c. Nous marquons l'unité de longueur pour le
référentiel "A" comme "xA", et l'unité de temps pour le référentiel "A" comme "tA".
De même pour les référentiels "B" et "C". Finalement, la ligne jaune est la ligne
d'univers d'un rayon de lumière.
Commençons par simplifier la figure un peu en faisant u=0 de telle façon que le
référenciel B se superpose au référentiel A, c'est à dire que le référentiel bleu
devienne orthogonal et coïncide avec le référentiel noir. Maintenant tirons v de part
et d'autre pour foir comment le référentiel C change. Notons que le point xC signifiant
l'unité de longueur se déplace le long d'une hyperbole, comme il se doit d'après la
formule de Lorentz. Le point xT en fait autant le long d'une autre hyperbole. La grande
marque marron carrée P représente un évènement quelconque. Ses coordonnées
dans le référentiel B sont calculées comme PxB et PtB. On peut les retrouver en
traçant deux lignes dans B, une parallèle à l'axe xB l'autre parallèle à l'axe xT. D'après
les projections (les petits points marrons) on peut calculer le quotient avec l'unité
nde lobgueur pour obtenir PxB et PtB. De même pour le référentiel C. Vous pouvez
ajouter maintenant quelques lignes et points à cette figure pour tester votre
compréhension de la transformation de Lorentz :
1. Essayez d'expliquer l'effet de contraction des longueurs
2. Essayez d'expliquer l'effet de dilatation du temps
3. Essayez d'expliquer pourquoi la simultanéïté dépend du choix du référentiel
pour l'observation
Vous pouvez déplacer v le long du segment pour voir comment l'incidence de chaque
effet varie selon les vitesses relatives de C et B.
Une des choses qui intrigue le plus les personnes commençant à étudier la
transformation de Lorentz est la question : comment peut-il se faire que les choses
dans le référentiel B apparaissent raccourcies, comparativement à ce qu'elles
sont lors d'un mouvement lent pour un observateur dans le référentiel C, cependant
que les choses dans le référentiel C aussi (d'après le principe de relativité) paraissent
raccourcies, comparativement à ce qu'elles sont lors d'un mouvement lent pour un
observateur dans le référentiel B ? Maintenant, nous (dans le référentiel A, lignes noires)
allons sauter dans le référentiel C et observer depuis ce point de vue pour répondre à
cette question. Pour ce faire, on déplace u hors du zéro jusqu'à ce que les lignes de C
recouvrent celles de A, c'est à dire que les lignes vertes deviennent orthogonales et
coïncident avec les lignes noires. En fait cela se produit quand u = -v, c'est à dire quand
B (bleu) se déplace à la vitesse -v relativement à A, cependant que C (vert) se déplace à
la vitesse v par rapport à B (bleu). Compris ? La situation est exactement en miroir (et
on entends ça au sens géomérique aussi) depuis le point de vue de C, sauf que la
direction de déplacement observée est l'opposé.
Cette figure Dr. Geo montre aussi que l'addition des vitesses gouvernée par la
transformation de Lorentz ne peut jamais dépasser la vitesse de la lumière, ce qui
apparaît aussi de façon moins visuelle à l'examen de la formule
(u+v)/(1+uv/c^2).
http://people.ofset.org/~ckhung/b/phy/lorentz.en.php
Lorentz Transform.
Input:
u: scalar between -1 and 1
O: origin
xA: unit point along the x-axis
xT: unit point along the t-axis
O-xA: x-axis
O-tA: y-axis
Output:
xB: unit point along the x'-axis
tB: unit point along the t'-axis
compute the coordinate
PxB
given
O: the origin
light: the 45 degree line
xB: the unit point along an axis
xP: the point to measure coordinatecomputes:
PxB: x-coordinate
PtB: t-coordinate
and the two projections along the axes
given:
O: origin
Light: 45 degree line
xB: unit point along x-axis
tB: unit point along t-axis
P: the point to measure coords